บทที่ 27 ชัยชนะของวิธีการระบายสี

บทที่ 27 ชัยชนะของวิธีการระบายสี

ในห้องทดลอง ชีวิตของเฉินจัวผ่านไปอย่างราบรื่น

ขดตัวอยู่ในห้องทดลองรับลมโชยอุ่นๆ

พลิกอ่านหนังสือปกแดงที่เหล่าโจวให้มาด้วยตัวเอง

นานๆ ครั้งก็ช่วยเหล่าโจวติวและอธิบายโจทย์ให้หลี่ฮ่าวกับจางเหว่ยฟัง

ช่วงก่อนหน้านี้เหล่าโจวได้แต่งตั้งให้เฉินจัวเป็นหัวหน้าทีมของพวกเขา ถึงแม้ทีมนี้จะมีกันแค่สามคนก็ตาม

หลี่ฮ่าวและจางเหว่ยย่อมยกมือยกเท้าเห็นด้วยอย่างเต็มที่

ตั้งแต่ที่เฉินจัวอธิบายโจทย์ให้พวกเขาฟังไปสองสามครั้ง เสียงเรียก 'หัวหน้า' ของพวกเขาก็เปี่ยมไปด้วยความเลื่อมใสศรัทธาอย่างแท้จริง ไร้ซึ่งความขุ่นข้องหมองใจใดๆ

ในสายตาพวกเขา โจทย์ที่ยากแทบตายจนไม่น่าจะใช่โจทย์สำหรับมนุษย์ทำ พอมาอยู่ในมือเฉินจัวกลับดูเหมือนจะแก้ได้ง่ายๆ อย่างรวดเร็วเสมอ

ประเด็นสำคัญคือวิธีที่เขาสอน พวกเขาสามารถฟังและเข้าใจได้อย่างง่ายดาย

นี่มันน่ามหัศจรรย์มาก

ส่วนทางด้านเหล่าจ้าวนั้น หมวดคณิตศาสตร์มีกันห้าคน เป็นชายสามหญิงสอง พอรวมเฉินจัวเข้าไปก็เป็นหกคนพอดี

คาบเรียนรู้ด้วยตนเองช่วงค่ำในวันที่สมาชิกครบ เหล่าจ้าวก็เดินไปเขียนโจทย์ข้อหนึ่งทิ้งไว้บนกระดานดำ

ไม่มีอะไรพลิกโผ

เฉินจัวได้ขึ้นเป็นหัวหน้าทีมหมวดคณิตศาสตร์อย่างราบรื่น

เพียงแต่ไม่รู้ว่าทำไม

ขนมของเขาถึงได้ดูเหมือนจะเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ

......

คืนวันพุธ เวลาทุ่มครึ่ง

ห้องเรียนเฉพาะกิจของทีมแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกบนชั้นบนสุดของตึกบริหาร โรงเรียนมัธยมอันดับหนึ่ง

ที่นี่แห้งมาก ในอากาศอบอวลไปด้วยกลิ่นเปรี้ยวเฉพาะตัวของกระดาษเก่าๆ ที่ทำให้จิตใจสงบ

ผ้าม่านกำมะหยี่สีแดงเข้มหนาหนักถูกดึงปิดไว้มิดชิด ตัดขาดความมืดมิดภายนอกหน้าต่างและเสียงออดคาบเรียนรู้ด้วยตนเองของโรงเรียนออกไปอย่างสิ้นเชิง

ภายในห้องมีเพียงโต๊ะยาวไม้เนื้อแข็งขนาดใหญ่หนึ่งตัว ด้านบนมีหลอดไส้กำลังวัตต์สูงส่องสว่างอยู่

ภายใต้แสงไฟ มีคนห้าคนนั่งล้อมวงกัน

ชายสามหญิงสอง

ทั้งห้าคนนี้คือทีมรวมดารานักแข่งคณิตศาสตร์โอลิมปิกของระดับมัธยมต้น โรงเรียนมัธยมอันดับหนึ่ง

หวังหยาง นักเรียนชั้น ม.3 อันดับหนึ่งวิชาคณิตศาสตร์ของสายชั้น สวมแว่นตาที่หนายิ่งกว่าก้นขวด กำลังกัดหัวปากกาอย่างบ้าคลั่งอยู่ตรงนั้น

จ้าวเฉิน นักเรียนชั้น ม.3 ซึ่งเป็นคนบ้าคณิตศาสตร์เช่นกัน ตอนนี้กำลังทึ้งหัวตัวเองจนผมที่ยุ่งอยู่แล้วกลายเป็นรังนก

ยังมีหลิวข่าย เจ้าอ้วนน้อยชั้น ม.2 รวมถึงเด็กผู้หญิงอีกสองคน หนานเสี่ยวอวิ๋นและหลินเสี่ยว

พวกเขาเงียบมาก

นอกจากเสียงปลายปากกาขีดเขียนลงบนกระดาษดังสวบสาบ และเสียงถอนหายใจที่ดังขึ้นเป็นระยะ ก็แทบจะไม่ได้ยินเสียงความเคลื่อนไหวอื่นใดเลย

เขานั่งอยู่ตรงหัวโต๊ะยาวฝั่งในสุด

ในมือประคองหนังสือ 《คณิตศาสตร์มัธยม》 ที่รื้อออกมาจากชั้นวางซึ่งปกหลุดลุ่ยไปแล้วครึ่งหนึ่ง กำลังอ่านอย่างออกรสออกชาติ

ทั้งห้าคนนั้นกำลังจนมุมอยู่กับโจทย์ข้อหนึ่ง

โจทย์เรขาคณิตเชิงการจัดสุดคลาสสิกข้อหนึ่ง

โจทย์ถูกวาดไว้บนกระดาษทด:

[สามารถใช้กระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 1x4 (โดมิโน) วางคลุมกระดานหมากรุกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 6x6 โดยไม่ให้ซ้อนทับกันได้หรือไม่? หากไม่ได้ โปรดอธิบายเหตุผล]

โจทย์นี้ง่ายมาก

ง่ายเสียจนเด็กประถมยังอ่านเข้าใจ

แต่ตอนแก้กลับน่าปวดหัวมาก

“น่าจะได้มั้ง?”

หวังหยางถือปากกาวาดช่องตารางลงบนกระดาษ

“ดูสิ พื้นที่คือ 6x6=36 พื้นที่ของกระเบื้องคือ 4 ซึ่ง 36 ก็เป็นพหุคูณของ 4 ในแง่ของพื้นที่มันพอนะ!”

“พื้นที่พอไม่ได้แปลว่าจะปูได้เต็มซะหน่อย!” จ้าวเฉินแย้ง “ฉันลองมาตั้งนานแล้ว ทุกครั้งมันจะเหลือโผล่ออกมาตรงมุมชิ้นนึงตลอด”

“หรือว่าต้องแบ่ง 6x6 ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กๆ หลายๆ รูป?” หนานเสี่ยวอวิ๋นเองก็กำลังพยายาม “อย่างเช่นหั่นเป็นบล็อก 2x4? โอ๊ย ไม่ได้สิ 6 หาร 4 ไม่ลงตัว...”

“ฝืนจัดเรียงไปดื้อๆ คงไม่ได้หรอก มันต้องมีกฎเกณฑ์สิ” หลิวข่ายกัดหัวปากกา “หรือว่าต้องใช้วิธีพิสูจน์ข้อขัดแย้ง?”

เสียงถกเถียงเริ่มดังขึ้นเรื่อยๆ

หนวกหูเกินไปแล้ว

การลองผิดลองถูกแบบไร้ระเบียบแบบแผนนั้น ราวกับการเดินชนสะเปะสะปะอยู่ในความมืด

เฉินจัวปิดหนังสือ 《คณิตศาสตร์มัธยม》 เล่มนั้นลง ก่อนจะถอนหายใจเบาๆ

เขากอดหนังสือ กระโดดลงจากเก้าอี้ แล้วเดินต้วมเตี้ยมไปที่ปลายโต๊ะยาวอีกฝั่งหนึ่ง

เขาไปยืนคั่นกลางระหว่างหวังหยางกับจ้าวเฉิน

“ติดเหรอ?”

น้ำเสียงของเฉินจัวเรียบนิ่ง ฟังไม่ออกถึงอารมณ์ความรู้สึก ราวกับกำลังถามว่ากินข้าวหรือยัง

เสียงถกเถียงหยุดชะงักลงทันที

ทั้งห้าคนต่างหันไปมองหัวหน้าทีมวัยเก้าขวบคนนี้

“อืม ติดแหง็กเลย”

หวังหยางดันกระดาษทดที่วาดไว้จนเละเทะไปให้ เกาหัวด้วยความเขินอายเล็กน้อย

“โจทย์ข้อนี้รู้สึกว่าน่าจะปูได้เต็ม แต่ให้ตายยังไงก็วาดออกมาไม่ได้ ทั้งที่พื้นที่มันก็พอดีกันแท้ๆ”

เฉินจัวปรายตามองโจทย์แวบหนึ่ง

“พื้นที่พอดีกันเป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็น ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอ”

เฉินจัวยื่นมือไปหยิบปากกาสีแดงออกจากกระบอกใส่ปากกา

เขาไม่ได้ไปวาดกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ซับซ้อนเหล่านั้น

เขาดึงรูปตาราง 6x6 นั้นมา

“ไม่ต้องวาดรูป”

เฉินจัวกล่าวด้วยน้ำเสียงเรียบเฉย

“ระบายสี”

“ระบายสีเหรอ?” หนานเสี่ยวอวิ๋นชะงักไปครู่หนึ่ง “ระบายเป็นตารางขาวดำเหมือนหมากรุกสากลน่ะเหรอ?”

“ตารางขาวดำไม่ได้หรอก”

เฉินจัวส่ายหน้า

“นั่นเอาไว้แก้ปัญหากระเบื้องขนาด 1x2 โจทย์ข้อนี้เป็นขนาด 1x4”

ปากกาในมือเริ่มเขียนตัวเลขลงไปในช่องตาราง

“โจทย์ข้อนี้คือ 1x4 จำเป็นต้องใช้สี่สีในการทำเครื่องหมาย”

เขาไม่ได้เติมลงไปมั่วๆ แต่ใช้กฎเกณฑ์แบบหนึ่ง:

กำหนดหมายเลขให้แต่ละช่อง โดยช่องที่อยู่ในแถวที่ i คอลัมน์ที่ j ให้กำกับหมายเลขเป็นเศษที่ได้จากการหาร (i+j) ด้วย 4

เพื่อความสะดวก จะแทนเศษด้วย 0, 1, 2, 3

เขาเขียนเติมลงไปอย่างรวดเร็ว แถวแรก (i=1):

เมื่อ j=1, i+j=2, เศษคือ 2

j=2, i+j=3, เศษคือ 3

j=3, i+j=4, เศษคือ 0

j=4, i+j=5, เศษคือ 1

j=5, i+j=6, เศษคือ 2

j=6, i+j=7, เศษคือ 3

ดังนั้นตัวเลขในแถวแรกจึงเป็น: 2, 3, 0, 1, 2, 3

เขาเขียนเรียงตามลำดับจนครบหกแถว ประกอบกันเป็นเมทริกซ์ตัวเลข

“พวกนายดูนะ”

เฉินจัวชี้ไปที่เมทริกซ์

“ไม่ว่าพวกนายจะวางกระเบื้อง 1x4 ลงไปยังไง ถ้าระนาบแนวนอน มันจะคลุมช่องที่ติดกันสี่ช่องในแถวเดียวกัน ถ้าระนาบแนวตั้ง มันจะคลุมช่องที่ติดกันสี่ช่องในคอลัมน์เดียวกัน ตามกฎเกณฑ์การกำกับหมายเลขนี้ ตัวเลขสี่ตัวที่มันคลุม จะต้องเป็น 0, 1, 2, 3 อย่างละตัวแน่นอน โดยไม่มีการซ้ำกัน”

“นั่นก็หมายความว่า กระเบื้องแต่ละแผ่น จะใช้หมายเลข 0 หนึ่งตัว หมายเลข 1 หนึ่งตัว หมายเลข 2 หนึ่งตัว และหมายเลข 3 หนึ่งตัวไปอย่างพอดี”

“ถ้ากระดานหมากรุกสามารถถูกปูด้วยกระเบื้องได้จนเต็มงั้นจำนวนของตัวเลขทั้งสี่ชนิด 0, 1, 2, 3 บนกระดานหมากรุก ก็จำเป็นจะต้องเท่ากันอย่างสมบูรณ์”

เฉินจัวหยุดปากกา เงยหน้าขึ้นมองรุ่นพี่หลายคนผ่านเลนส์แว่น

“ตอนนี้ ลองนับดูสิว่าในกระดานหมากรุกนี้ มีตัวเลขแต่ละชนิดอยู่กี่ตัว”

หวังหยางรีบเข้าไปนับ

พอนับจำนวนของเลข 0 เสร็จ แล้วนับจำนวนของเลข 1 ต่อ คิ้วของเขาก็ขมวดเข้าหากัน

“ไม่ถูกสิ... 0 มี 9 ตัว 1 มีแค่ 8 ตัว 2 มี 9 ตัว 3 มี... 10 ตัว จำนวนของพวกมันไม่เท่ากันนี่!”

“ดังนั้น”

น้ำเสียงของเฉินจัวยังคงราบเรียบเช่นเดิม

“สมมติว่าสามารถปูได้เต็ม ก็จะต้องการให้จำนวนของตัวเลขทั้งสี่ชนิดเท่ากัน แต่ในความเป็นจริงจำนวนกลับไม่เท่ากัน จึงเกิดข้อขัดแย้ง เพราะฉะนั้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กระเบื้องขนาด 1x4 ปูคลุมกระดานหมากรุกขนาด 6x6 โดยไม่ซ้อนทับกัน”

ภายในห้องเรียนเงียบสงัดลงในพริบตา

ตรรกะสมบูรณ์แบบไร้ช่องโหว่

หากต้องการปูให้เต็ม จำเป็นต้องใช้ปริมาณของ 2 และ 4 ในจำนวนที่เท่ากัน

ซึ่งมันไม่เท่าเทียมกันเลยสักนิด

“ดังนั้น จึงเป็นไปไม่ได้”

เฉินจัววางปากกาลง

จ้าวเฉินมองกระดาษแผ่นนั้น อ้าปากค้างกว้าง

“นี่... นี่พิสูจน์เสร็จแล้วเหรอ?”

“อืม”

เฉินจัวปัดฝุ่นบนมือ แล้วหันหลังเดินกลับไป

“วิธีการระบายสีเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์เชิงการจัด วันหน้าหากเจอโจทย์ปัญหาการวางซ้อนทับแบบนี้อีก อย่าเพิ่งรีบร้อนวาดรูป ให้ลองคิดดูก่อนว่าจะระบายสียังไงให้เกิดข้อขัดแย้งขึ้นมาได้”

เขานั่งลงประจำที่ของตัวเอง แล้วเปิดหนังสือออก

“เอาล่ะ เลิกเหม่อได้แล้ว ไปข้อถัดไป”

เบื้องหลัง รุ่นพี่ทั้งห้าคนต่างมองหน้ากันเลิ่กลั่ก

โดยเฉพาะหวังหยาง เขามองดูเมทริกซ์ตัวเลขแสนเรียบง่ายนั้น แล้วรู้สึกเหมือนไอคิวของตัวเองถูกจับกดลงไปถูไถกับพื้นเสียรอบหนึ่ง

ไม่ใช่เพราะว่าโจทย์มันยากแค่ไหน

แต่เป็นเพราะวิธีแก้โจทย์แบบนี้ มันช่างสง่างามเกินไป ขี้โกงเกินไป และก็... เกินไป

“โคตรเจ๋ง”

หวังหยางอั้นอยู่นาน สุดท้ายก็เค้นออกมาได้แค่คำนี้

ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อน ไม่มีการแยกแยะกรณีพิจารณาที่ยุ่งยากวุ่นวาย

ก็แค่วาดตัวเลขลงไปไม่กี่ตัว ลองนับดู แล้วก็จบการต่อสู้

“สมองนี้นี่มัน...”

หวังหยางพึมพำเสียงเบา

“เติบโตมายังไงกันนะ?”