บทที่ 9 - ปัญหาประตูสามบาน

บทที่ 9 - ปัญหาประตูสามบาน

หลี่เหรินซูคิดตามอย่างจริงจังแล้วพูดว่า “คุณหมายความว่า คุณสามารถมองทะลุกับดักทางภาษาที่ผู้ออกแบบซ่อนไว้ในกฎ แล้วเลือกยิงตัวเองทั้งหกนัดเลยอย่างนั้นเหรอคะ?”

สิ่งที่ทุกคนเห็นคือกติกาฉบับสมบูรณ์ นั่นหมายความว่าพวกเขารู้ความจริงแล้วว่ากระสุนจริงอยู่ในกระเป๋าของผู้บริสุทธิ์ ไม่ได้อยู่ในรังเพลิงของปืนลูกโม่

กฎที่เขียนว่า: [ในรังเพลิงของปืนลูกโม่มีช่องใส่กระสุน 6 ช่อง โดยช่องว่าง 5 ช่องจะกระจายอยู่ในตำแหน่งสุ่มของลูกโม่]

ข้อนี้เป็นกับดักทางภาษาล้วนๆ

ถ้าใครรู้ความจริงข้อนี้ ก็สามารถผ่านเกมได้โดยไม่เจ็บตัวเลยจริงๆ

วางหย่งซินรีบแย้งทันที “แต่อันนั้นมันเป็นเพราะเราเห็นเฉลยแล้วต่างหาก

สมมติว่าเราตื่นขึ้นมาโดยไม่รู้อะไรเลย แล้วชีวิตกำลังแขวนอยู่บนเส้นด้าย พอถูกบอกกฎข้อนี้มา คนส่วนใหญ่ไม่มีทางมีสติมาวิเคราะห์แบบที่คุณว่าหรอก

การที่คุณคิดว่าตัวเองจะมองออก ผมว่าคุณมั่นใจในสติสัมปชัญญะของตัวเองเกินไปหน่อยนะ”

ไช่จื้อหย่วนส่ายหน้า “ไม่ครับ ผมคิดว่าต่อให้ไม่รู้เรื่องกับดักภาษานั่น ก็ไม่ได้เป็นอุปสรรคต่อการเคลียร์เกม

เรามาลองไล่เรียงเรื่องความน่าจะเป็นกันดู

อย่างแรก ระยะห่างรวมของกลไกเหล็กคือ 6 ซม. หรือเฉลี่ยข้างละ 3 ซม. ถ้ายิงผู้บริสุทธิ์หนึ่งนัด เหล็กจะขยับเข้าข้างละ 1.29 ซม.

นั่นหมายความว่า การขยับสองครั้งแรกจะไม่ทำให้บาดเจ็บ ครั้งที่สามอาจจะเจ็บหน่อยแต่ก็น้อยกว่าครั้งหลังๆ มาก

แต่ครั้งที่สี่ ห้า หก แต่ละครั้งจะสร้างความเสียหายรุนแรงขึ้นเรื่อยๆ ความอันตรายเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ พอถึงครั้งที่ห้าก็น่าจะตายแน่นอนแล้ว

ดังนั้นเวลาประเมินความเสี่ยง ไม่ใช่แค่คิดว่า ‘จะโดนยิงไหม’ แต่ต้องคิดด้วยว่า ‘จะโดนเหล็กหนีบตายไหม’

สมมติว่าเหล็กขยับห้าครั้งแล้วตาย เราก็ตีซะว่าการขยับแต่ละครั้งจะสะสมเกจความตาย 1/5 แน่นอนว่าอัตราการตายของกลไกมันไม่ได้เฉลี่ยเท่ากันหรอก ยิ่งท้ายๆ ยิ่งสูง

ยิงตัวเองหนึ่งนัด มีโอกาสตาย 1/6 อันนี้ชัดเจน แต่ถ้ายิงอีกฝ่าย มีโอกาส 5/6 ที่จะเป็นกระสุนเปล่า ซึ่งจะทำให้กลไกขยับ และเพิ่มเกจความตายขึ้นมาอีก 1/5

ดังนั้นไม่ว่าจะยิงตัวเองหรือยิงอีกฝ่าย ความเสี่ยงจริงๆ มันพอๆ กัน

ในเมื่อขยับห้าครั้งอาจจะตาย เราก็ต้องยอมเสี่ยงยิงตัวเองอย่างน้อยสองนัด

สมมติว่าในปืนมีกระสุนจริงหนึ่งนัดจริงๆ โอกาสโดนยิงแต่ละนัดคือ 1/6 การเลือกว่าจะยิงอีกฝ่ายในนัดไหน จริงๆ แล้วไม่มีผลต่อผลลัพธ์ของเกม

แต่ในทางจิตวิทยา การเลือกยิงตัวเองในสองนัดแรกดีที่สุด

เพราะในสถานการณ์จริง ถ้ากระสุนนัดก่อนหน้าเป็นกระสุนเปล่า ความน่าจะเป็นของนัดต่อไปจะสูงขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งจะสร้างแรงกดดันมหาศาล

เช่น ถ้านัดแรกยิงออกไปแล้วเป็นกระสุนเปล่า (โดยที่เราไม่รู้) โอกาสของนัดที่เหลือจะกลายเป็น 1/5 ถ้านัดที่สองยังว่างอีก ก็จะกลายเป็น 1/4 ไล่ไปเรื่อยๆ

ดังนั้น ไม่ว่าคุณจะมองว่าความน่าจะเป็นของแต่ละนัดมันเท่ากันหรือไม่ สองนัดแรกควรยิงตัวเองก่อนเสมอ

พอถึงนัดที่สี่ จะมีคำใบ้ใหม่โผล่มา: นัดที่ห้าเป็นกระสุนเปล่า

คำใบ้นี้ใจดีสุดๆ ไปเลย มันคือ ‘ปัญหาประตูสามบาน’ (Monty Hall Problem) ชัดๆ

นี่หมายความว่า โอกาสที่นัดที่สี่จะเป็นกระสุนจริงยังคงเป็น 1/3 ในขณะที่โอกาสที่นัดที่หกจะเป็นกระสุนจริงพุ่งขึ้นเป็น 2/3 ถ้าตัดสินใจด้วยเหตุผล นัดที่สี่ก็ยังควรจะยิงตัวเองอยู่ดี

ถ้าเข้าใจจุดนี้ ต่อให้นัดสุดท้ายเลือกยิงผู้บริสุทธิ์ รวมกับนัดก่อนหน้าที่ยิงผู้บริสุทธิ์ไปหนึ่งนัด กลไกเหล็กก็จะขยับแค่สองครั้ง

ดูจากระยะแล้ว ผิวหนังยังไม่ถลอกเลยด้วยซ้ำ

ยิ่งไปกว่านั้น ในมุมมองของคนอ่านเฉลยอย่างพวกเรา ปืนกระบอกนั้นไม่มีกระสุนอยู่แล้ว ดังนั้นความเป็นไปได้ที่จะถูกยิงตายจึงเป็นศูนย์ตั้งแต่แรก”

ทุกคนเงียบกริบ

เจียงเหอบรรณาธิการหนังสือพิมพ์ขมวดคิ้วมุ่น ถามขึ้นว่า “ช่วงแรกพอเข้าใจค่ะ แต่สามนัดหลังฉันงง อะไรคือปัญหาประตูสามบานคะ?”

ไช่จื้อหย่วนทำหน้าแปลกใจ “ไม่รู้จักเหรอครับ?

โอเค งั้นผมอธิบายง่ายๆ มันเป็นปัญหาความน่าจะเป็นที่คลาสสิกมาก

ที่มาของมันมาจากรายการโชว์ทางทีวีของต่างประเทศครับ:

สมมติว่ามีประตูสามบานปิดอยู่ หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ ถ้าเลือกถูกก็ขับกลับบ้านไปเลย ส่วนอีกสองบานข้างหลังว่างเปล่า

ผู้เข้าแข่งขันเลือกประตูไว้บานหนึ่ง แต่ยังไม่เปิดทันที

ทีนี้พิธีกรเดินไปเปิดประตูบานอื่น ซึ่งเขาเปิดออกมาแล้วว่างเปล่า ไม่มีรถยนต์ ขอให้จำไว้นะครับว่าพิธีกรไม่ได้สุ่มเปิด เพราะเขาเป็นพิธีกร เขารู้อยู่แล้วว่ารถอยู่ไหน ประตูที่เขาเปิดคือประตูที่เขารู้อยู่แล้วว่าไม่มีรถ

จากนั้นพิธีกรก็ถามผู้เข้าแข่งขันว่า: จะเปลี่ยนประตูไหม?

ถ้าคุณเป็นผู้เข้าแข่งขัน คุณจะเปลี่ยนไหมครับ?”

เจียงเหอคิดอยู่ครู่หนึ่ง แล้วตอบอย่างมั่นใจ “ไม่เปลี่ยนค่ะ ฉันเชื่อในความรู้สึกแรก

อีกอย่าง แต่ละบานมีโอกาสมีรถอยู่ 1/3 เท่ากันไม่ใช่เหรอคะ จะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนก็ค่าเท่ากัน”

ไช่จื้อหย่วนส่ายหน้า “ผิดแล้วครับ

เพราะประตูที่คุณเลือกตอนแรกมีโอกาส 1/3 เท่าเดิม แต่ประตูอีกบานที่เหลืออยู่ โอกาสมีรถจะกลายเป็น 2/3 ครับ ดังนั้นควรเปลี่ยน”

เจียงเหออึ้งไป “ฮะ? ทำไมล่ะคะ?”

ไช่จื้อหย่วนอธิบาย “เพราะแบบนี้แหละครับ ปัญหาประตูสามบานถึงได้เป็นปัญหาคลาสสิก มันดูเรียบง่ายแต่มันขัดแย้งกับสัญชาตญาณสุดๆ

ที่คุณจะงงก็ไม่แปลกครับ ตอนที่ปัญหานี้ถูกนำเสนอออกมาใหม่ๆ มีการเถียงกันดุเดือดมาก แม้แต่นักวิทยาศาสตร์หรือนักวิชาการหลายคนยังค้านหัวชนฝาเลย

การพิสูจน์มันซับซ้อนหน่อย แต่ผมมีวิธีอธิบายที่เข้าใจง่ายกว่านั้นครับ:

สมมติว่าเราเพิ่มจำนวนประตูเป็น 10,000 บาน มีรถแค่คันเดียว อีก 9,999 บานไม่มีอะไรเลย

คุณเลือกประตูไว้หนึ่งบาน พิธีกรที่รู้ตำแหน่งรถ เดินไปเปิดประตูอื่นๆ อีก 9,998 บานที่ว่างเปล่า จนเหลือประตูทิ้งไว้แค่บานเดียว

ทีนี้พิธีกรมาถามคุณว่า: จะเปลี่ยนประตูไหม?

คราวนี้จะเปลี่ยนไหมครับ?”

เจียงเหอคิดตาม “เปลี่ยนค่ะ”

ไช่จื้อหย่วนถาม “ทำไมคราวนี้ถึงยอมเปลี่ยนล่ะครับ?”

เจียงเหอก้มหน้าคิด “ประตูหมื่นบาน เป็นไปไม่ได้เลยที่ฉันจะเลือกถูกตั้งแต่ครั้งแรก โอกาสแค่หนึ่งในหมื่น

ประตูที่ฉันเลือกตอนแรกต้องไม่มีรถแน่ๆ

ดังนั้นรถต้องอยู่ในประตูอีกบานที่เหลืออยู่”

ไช่จื้อหย่วนพยักหน้า “ถูกต้องครับ พอเพิ่มจำนวนประตู ปัญหานี้จะเข้าใจง่ายขึ้นทันที

ไม่ว่าพิธีกรจะเปิดประตูไหน ประตูที่คุณเลือกตอนแรกความน่าจะเป็นมันถูกล็อคไว้แล้วว่าต่ำเตี้ยเรี่ยดิน แต่ประตูอื่นที่เหลืออยู่ ความน่าจะเป็นมันจะพุ่งสูงขึ้น

กลับมาที่ปัญหาประตูสามบาน: ประตูที่คุณเลือกตอนแรกมีโอกาส 1/3 เรามองประตูอีกสองบานที่เหลือว่าเป็นกลุ่มเดียวกัน ซึ่งมีโอกาสรวมกันคือ 2/3

พอพิธีกรตัดประตูที่ไม่มีรถออกไปหนึ่งบาน โอกาส 2/3 ของกลุ่มนั้น ก็จะไปกองอยู่ที่ประตูที่เหลืออยู่บานเดียวนั้น

ประตูนัดนั้นเลยมีความน่าจะเป็นจาก 1/3 กลายเป็น 2/3 ไงครับ”

ฟู่เฉินฟังแล้วเข้าใจ เขานั่งพยักหน้าอย่างใช้ความคิด

“ดังนั้น พอเกมดำเนินมาถึงสามนัดสุดท้าย แล้วทีวีขึ้นกฎใหม่ มันก็กลายเป็น ‘ปัญหาประตูสามบาน’

นัดที่สี่ที่กำลังจะยิง คือประตูที่เลือกไว้ตอนแรก นัดที่ห้าคือประตูที่พิธีกรเปิดโชว์ว่าไม่มีรถ ส่วนนัดที่หกคือประตูที่เหลืออยู่

การที่พิธีกรถามว่าจะเปลี่ยนประตูไหม ก็เท่ากับผู้เล่นต้องตัดสินใจว่า จะเปลี่ยนจากยิงนัดที่สี่ เป็นยิงนัดที่หกแทนไหม

ต้องเลือกว่าจะยิงตัวเองด้วยนัดที่มีความเสี่ยงต่ำกว่า หรือจะยิงผู้บริสุทธิ์ด้วยนัดที่มีความเสี่ยงสูงกว่า”

ไช่จื้อหย่วนชมเชย “ถูกต้องครับ คุณหัวไวมาก มันคือแบบนั้นเลย”

ทุกคนเงียบไปชั่วขณะ กำลังย่อยข้อมูลที่ไช่จื้อหย่วนเพิ่งอธิบาย

ฟู่เฉินคิดอย่างรอบคอบแล้วพูดขึ้น “ถ้าวิเคราะห์ตามนี้ เกม ‘รูเล็ตไถ่บาป’ จริงๆ แล้วเป็นเกมที่ทดสอบ ‘ความละเอียดรอบคอบในการอ่าน’ และ ‘ความรู้เรื่องความน่าจะเป็น’ สินะครับ?

แต่แค่เหตุผลแค่นี้ มันสมควรได้รับระดับ S เลยเหรอ?”

หลี่เหรินซูเหมือนจะนึกอะไรขึ้นได้ เธอมองไปที่เฉาไห่ชวน

“หมวดเฉาคะ ถ้าคุณเป็นผู้เล่นเกมนี้ คุณคิดว่าตัวเองจะรอดไหมคะ?”

เฉาไห่ชวนพยักหน้าอย่างเป็นธรรมชาติ “รอดครับ”

หลี่เหรินซูเห็นด้วย “ฉันก็คิดเหมือนกันค่ะ และเหตุผลที่รอด คงไม่ใช่เพราะเรื่องความน่าจะเป็นอะไรนั่นหรอก”

เฉาไห่ชวนเหมือนจะอยากสูบบุหรี่ มือขยับไปจะหยิบซองแต่ก็ยั้งไว้ได้ทัน

“ใช่ครับ ผมลองคิดดูแล้ว ที่ผมรอดไม่ใช่เพราะเทคนิคอะไรหรอก เพราะผมไม่รู้เรื่องความน่าจะเป็น

แต่ผมแค่ทำใจหันกระบอกปืนไปยิงผู้บริสุทธิ์ไม่ลง ก็แค่นั้นเอง”

[จบแล้ว]